Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，n=4，5，…，則a₂₀₁₄=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：在數(shù)列遞推式a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3中，以n+1替換n，得到a_n+1=a_n+a_n-1-a_n-2，作和后可得數(shù)列{a_n}的偶數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等差數(shù)列，由已知求出偶數(shù)項(xiàng)的公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a₂₀₁₄的值．

解答： 解：由a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，得
a_n+1=a_n+a_n-1-a_n-2，
兩式作和得：a_n+1=2a_n-1-a_n-3．
即a_n+1+a_n-3=2a_n-1（n=4，5，…）．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等差數(shù)列，
∵a₂=4，a₄=12，∴偶數(shù)項(xiàng)公差為8．
則a₂₀₁₄=a₂+8（1007-1）=4+8×1006=8052．
故答案為：8052．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中滲透了周期數(shù)列這一知識(shí)點(diǎn)，屬中檔題．