Question

3．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，點P（1，2）在拋物線上，直線l與拋物線y²=4x相交于不同的A、B兩點
（1）求該拋物線方程；
（2）若直線l過拋物線的焦點，且線段AB中點的橫坐標(biāo)為2，求弦AB的長；
（3）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為：y²=2px，利用點P（1，2）在拋物線上，求出p，即可求出拋物線的方程；
（2）由于直線過焦點，先利用中點的坐標(biāo)公式求出x₁+x₂，利用弦長公式x₁+x₂+p求出AB的長；
（3）設(shè)l：x=ty+b代入拋物線方程y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-4，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為：y²=2px，
∵點P（1，2）在拋物線上，
∴4=2p，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）設(shè)A、B兩點橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
因為線段AB中點的橫坐標(biāo)為2，
所以x₁+x₂=4，
故|AB|=x₁+x₂+p=4+2=6．
證明：（3）設(shè)l：x=ty+b代入拋物線方程y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b．
令b²-4b=-4，
∴b²-4b+4=0，
∴b=2，
∴直線l過定點（2，0）．
∴若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，則直線l必過一定點．

點評 本題考查拋物線的方程，考查弦長問題，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力．對于過焦點的弦長注意圓錐曲線定義的應(yīng)用．