Question

14．已知函數(shù)f（x）=|ln（x-1）|，若實(shí)數(shù)a，b（a＜b）滿足f（a）=f（b），則-a+5b的取值范圍為（　�。�

• A． （5，8）
• B． （8，9）
• C． （5，9）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的性質(zhì)可得ln（a-1）+ln（b-1）=0，從而得出a，b的關(guān)系，從而得出得出-a+5b關(guān)于b（或者a）的函數(shù)，求出此函數(shù)的值域即可．

解答 解：f（x）=|ln（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}{-ln（x-1），1＜x≤2}\\{ln（x-1），x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（a）=f（b），a＜b，
∴l(xiāng)n（a-1）+ln（b-1）=0，即ln[（a-1）（b-1）]=0，且1＜a＜2，b＞2．
∴（a-1）（b-1）=1．
∴a=$\frac{1}{b-1}+1$=$\frac{b-1}$．
∴-a+5b=$\frac{-b}{b-1}$+5b=$\frac{5^{2}-6b}{b-1}$=$\frac{5（b-1）^{2}+4（b-1）-1}{b-1}$=5（b-1）-$\frac{1}{b-1}$+4，
令b-1=t，g（t）=5t-$\frac{1}{t}$+4，則g（t）在（2，+∞）上是增函數(shù)，且g（2）=8，
∴g（t）的值域?yàn)椋?，+∞）．
∴-a+5b的范圍是（8，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．