Question

已知8個非零實數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a₈，向量

OA1

=(a1，a2)，

OA2

=（a₃，a₄），

OA3

=（a₅，a₆），

OA4

=（a₇，a₈），對于下列命題：
①a₁，a₂，a₃，…，a₈為等差數(shù)列，則存在i，j（1≤i，j≤8，i≠j，i，j∈N^*），使

4

k=1

OAk

與向量

n

=(ai，aj)共線；
②若a₁，a₂，a₃，…，a₈為公差不為0的等差數(shù)列，

n

=(ai，aj)（i≠j，i，j∈N^*，1≤i，j≤8），

q

=(1，1)，M={y|y=

n

•

q

}，則集合M中元素有13個；
③若a₁，a₂，a₃，…，a₈為等比數(shù)列，則對任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），都有

OAi

∥

OAj

；
④若a₁，a₂，a₃，…，a₈為等比數(shù)列，則存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），使

OAi

•

OAj

＜0；
⑤若

m

=

OAi

•

OAj

（i≠j，1≤i，j≤4，i，j∈N^*），則

m

的值中至少有一個不小于0．
上述命題正確的是

 

（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質,等比數(shù)列的性質,平面向量數(shù)量積的運算

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用定義，結合數(shù)量積運算，即可得出結論．

解答： 解：①

4

k=1

OAk

=（a₁+a₃+a₅+a₇，a₂+a₄+a₆+a₈）=4（a₄，a₅），即

4

k=1

OAk

與向量（a₄，a₅）共線，正確；
②∵

q

=(1，1)，M={y|y=

n

•

q

}，∴y=a_i+a_j，
不妨設a₁，a₂，a₃，…，a₈為1，2，3，4，5，6，7，8，則a_i+a_j為3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，即集合M中元素有13個，正確；
③若a₁，a₂，a₃，…，a₈為等比數(shù)列，由于

OA1

=(a1，a2)，

OA2

=（a₃，a₄），

OA3

=（a₅，a₆），

OA4

=（a₇，a₈），所以橫、縱坐標都成等比數(shù)列，所以都有

OAi

∥

OAj

，正確；
④若a₁，a₂，a₃，…，a₈為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質，可得不存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），使

OAi

•

OAj

＜0；
⑤由8個非零實數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a₈，其中兩個的積的和可以都小于0，故不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質，考查數(shù)量積運算，屬于中檔題．