Question

11．2017年春晚分會場之一是涼山西昌，電視播出后，通過網(wǎng)絡對涼山分會場的表演進行了調(diào)查．調(diào)查分三類人群進行，參加了網(wǎng)絡調(diào)查的觀眾們的看法情況如下：

觀眾對涼山分會場表演的看法	非常好	好
中國人且非四川（人數(shù)比例）	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
四川人（非涼山）（人數(shù)比例）	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
涼山人（人數(shù)比例）	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

（1）從這三類人群中各選一個人，求恰好有2人認為“非常好”的概率（用比例作為相應概率）；
（2）若在四川人（非涼山）群中按所持態(tài)度分層抽樣，抽取9人，在這9人中任意選取3人，認為“非常好”的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設事件“恰好有2人認為“非常好””為A，利用互相獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出．
（2）若在四川人（非涼山）群中按所持態(tài)度分層抽樣，抽取9人，則其中認為“非常好”的人數(shù)為6，認為“好”的人數(shù)為3．在這9人中任意選取3人，認為“非常好”的人數(shù)記為ξ，則ξ的可能取值為：0，1，2，3．利用“超幾何分布列”的概率計算公式及其數(shù)學期望計算公式即可得出．

解答 解：（1）設事件“恰好有2人認為“非常好””為A，則P（A）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{11}{24}$．
（2）若在四川人（非涼山）群中按所持態(tài)度分層抽樣，抽取9人，則其中認為“非常好”的人數(shù)為6，認為“好”的人數(shù)為3．在這9人中任意選取3人，認為“非常好”的人數(shù)記為ξ，則ξ的可能取值為：0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{9}^{3}}$=$\frac{18}{84}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{9}^{3}}$=$\frac{45}{84}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{6}^{3}}{{∁}_{9}^{3}}$=$\frac{20}{84}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{20}{84}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{84}$+1×$\frac{18}{84}$+2×$\frac{45}{84}$+3×$\frac{20}{84}$=2．

點評 本題考查了互相獨立與互斥事件的概率計算公式、“超幾何分布列”的概率計算公式及其數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．