Question

18．已知拋物線M的頂點在原點，焦點為（0，$\frac{1}{4}$），半徑為1的圓N的圓心N（0，b）在直線l：4x-4y+5=0上．
（1）求拋物線M與圓N的標準方程；
（2）直線1與拋物線M相交于A、B兩點，求弦AB的長；
（3）求圓N的圓心到拋物線M的最短距離．

Answer 1

分析 （1）由拋物線M的頂點在原點，焦點為（0，$\frac{1}{4}$），可得拋物線M，求出圓心坐標可得圓N的標準方程；
（2）直線l：4x-4y+5=0與x²=y聯(lián)立，利用弦長公式求弦AB的長；
（3）利用兩點間的距離公式求圓N的圓心到拋物線M的最短距離．

解答 解：（1）∵拋物線M的頂點在原點，焦點為（0，$\frac{1}{4}$），
∴拋物線的方程為x²=y；
∵圓N的圓心N（0，b）在直線l：4x-4y+5=0上，
∴b=$\frac{5}{4}$，
∵r=1，
∴圓N的標準方程為x²+（y-$\frac{5}{4}$）²=1；
（2）直線l：4x-4y+5=0與x²=y聯(lián)立可得4x²-4x-5=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，x₁x₂=-$\frac{5}{4}$
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+5}$=2$\sqrt{3}$；
（3）拋物線上的點為M（x，y），則|MN|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{5}{4}）^{2}}$=$\sqrt{（y-\frac{3}{4}）^{2}+1}$≥1，
∴圓N的圓心到拋物線M的最短距離為1．

點評 本題考查拋物線M與圓N的標準方程，考查弦長的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．