Question

8．設(shè)全集U，對(duì)集合A，定義函數(shù)f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{-1，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$，那么對(duì)于集合A，B下列說(shuō)法不正確的是（　�。�
①?x∈U，都有f_A（x）=-f${\;}_{{∁}_{U}A}$（x）；
②若A⊆B，則?x∈U，都有f_A（x）≥f_B（x）；
③?x∈U，都有f_A∩B（x）≤f_A（x）•f_B（x）；
④?x∈U，都有f_A∩B（x）+f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）．

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算法則，對(duì)①②③④各項(xiàng)中的運(yùn)算加以驗(yàn)證，由此得到本題答案．

解答 解：對(duì)于①，∵f_∁UA（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈{∁}_{U}A}\\{-1．x∈A}\end{array}\right.$，
結(jié)合f_A（x）的表達(dá)式，可得f_∁UA（x）=-f_A（x），故①正確；
對(duì)于②∵f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{-1，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$，那么f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{-1，x∈{∁}_{U}B}\end{array}\right.$，
而C_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即對(duì)于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故②不正確；
對(duì)于③，f_A∩B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{-1，x∈{∁}_{U}（A∩B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{-1，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$•$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{-1，x∈{∁}_{U}B}\end{array}\right.$≤f_A（x）•f_B（x），故③正確；
對(duì)于D，f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∪B}\\{-1，x∈{∁}_{U}（A∪B）}\end{array}\right.$，
∴f_A∩B（x）+f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{-1，x∈{∁}_{U}（A∩B）}\end{array}\right.$+$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∪B}\\{-1，x∈{∁}_{U}（A∪B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{-1，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$+$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{-1，x∈{∁}_{U}B}\end{array}\right.$=f（A）+f（B），
由此可得④正確．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題給出特征函數(shù)的定義，判斷幾個(gè)命題的真假性，著重考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的理解等知識(shí)，屬于中檔題．