Question

18．已知函數(shù)f（x）=cosx-8cos⁴$\frac{x}{4}$．
（Ⅰ）求該函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（2x-$\frac{π}{6}$）在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=f（2x-$\frac{π}{6}$）求出解析式，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=cosx-8cos⁴$\frac{x}{4}$．
化簡可得：f（x）=cosx-8（cos²$\frac{x}{4}$）²=cosx-8（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}$）²=-2cos$\frac{x}{2}$-3
（Ⅰ）∴該函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π；
（Ⅱ）由函數(shù)y=f（2x-$\frac{π}{6}$）=-2cos（x-$\frac{π}{12}$）-3．
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時，則x-$\frac{π}{12}$∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，函數(shù)y取得最大值為-4．
當2x-$\frac{π}{6}$=0，函數(shù)y取得最小值為-5．
∴函數(shù)y=f（2x-$\frac{π}{6}$）在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域為[-5，-4]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．