Question

9．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=2，$\frac{{S}_{6}}{{S}_{2}}$=21，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前4項(xiàng)和為（　　）

• A． $\frac{5}{16}$或$\frac{11}{16}$
• B． $\frac{5}{16}$或$\frac{7}{16}$
• C． $\frac{5}{16}$或$\frac{15}{16}$
• D． $\frac{3}{16}$或$\frac{7}{16}$

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得公比q，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前4項(xiàng)和．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則由a₁=2，$\frac{{S}_{6}}{{S}_{2}}$=21，得
$\frac{\frac{2×（1-{q}^{6}）}{1-q}}{\frac{2×（1-{q}^{2}）}{1-q}}$=$\frac{1-{q}^{6}}{1-{q}^{2}}$=21，
整理得q⁴+q²-20=0，
解得q=2或q=-2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$或${a}_{n}=2•（-2）^{n-1}$．
當(dāng)${a}_{n}={2}^{n}$時(shí)，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前4項(xiàng)和為：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$，
當(dāng)${a}_{n}=2•（-2）^{n-1}$時(shí)，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前4項(xiàng)和為：$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}$=$\frac{5}{16}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前4項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．