Question

18．來(lái)自某校一班和二班的共計(jì)9名學(xué)生志愿服務(wù)者被隨機(jī)平均分配到運(yùn)送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有一名一班志愿者的概率是$\frac{20}{21}$．
（Ⅰ）求清掃衛(wèi)生崗位恰好一班1人、二班2人的概率；
（Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量X為在維持秩序崗位服務(wù)的一班的志愿者的人數(shù)，求X分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“至少一名一班志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件A，
利用對(duì)立事件計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，
求出“清掃衛(wèi)生崗位恰好一班1人，二班2人”的概率值；
（Ⅱ）根據(jù)題意知X的所有可能值，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）記“至少一名一班志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件A，
則A的對(duì)立事件為“沒(méi)有一班志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”，
設(shè)有一班志愿者x個(gè)，1≤x＜9，那么$P（A）=1-\frac{{C_{9-x}^3}}{C_9^3}=\frac{20}{21}$，
解得x=5，即來(lái)自一班的志愿者有5人，來(lái)自二班志愿者4人；
記“清掃衛(wèi)生崗位恰好一班1人，二班2人”為事件C，
那么$P（C）=\frac{C_5^1C_4^2}{C_9^3}=\frac{5}{14}$，
所有清掃衛(wèi)生崗位恰好一班1人，二班2人的概率是$\frac{5}{14}$；
（Ⅱ）根據(jù)題意，X的所有可能值為0，1，2，3；
$P（X=1）=\frac{C_5^1C_4^2}{C_9^3}=\frac{5}{14}$，
$P（X=1）=\frac{C_5^2C_4^1}{C_9^3}=\frac{10}{21}$，
$P（X=3）=\frac{C_5^3C_4^0}{C_9^3}=\frac{5}{42}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{42}$

數(shù)學(xué)期望為$E（X）=0×\frac{1}{21}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{10}{21}+3×\frac{5}{42}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．