Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為和S_n，點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{（{a_n}-5）•{2^{a_n}}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n
（3）設(shè)n∈N^*，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$問是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n，解可求出通項(xiàng)可求a_n；由b_n+2-2b_n+1+b_n=0⇒b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，從而可得數(shù)列b_n為等差數(shù)列，結(jié)合題中所給條件可求公差d，首項(xiàng)b₁，進(jìn)一步可求數(shù)列的通項(xiàng)．
（2）由（I）可知數(shù)列$\left\{{（{a_n}-5）•{2^{a_n}}}\right\}$分別為等差、等比數(shù)列，對(duì)數(shù)列求和用錯(cuò)位相減，
（3）當(dāng)n∈N^*，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}n+5，n為奇數(shù)\\ 3n+2，n為偶數(shù)\end{array}$，分類討論即可求出m的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，$\frac{Sn}{n}$）在直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上，
∴$\frac{Sn}{n}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{11}{2}$，
即S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n，
所以a₁=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+5．
且a₁=6也適合，
所以a_n=n+5
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n=…=b₂-b₁．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∵b₃=11，它的前9項(xiàng)和為153，
設(shè)公差為d，則b₁+2d=11，9b₁+$\frac{9×8}{2}$×d=153，
解得b₁=5，d=3．
∴b_n=3n+2，
（2）令${c_n}=（{a_n}-5）•{2^{a_n}}=n•{2^{n+5}}=32n•{2^n}$，
∴${T_n}=32（1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n•{2^n}）$，
$2{T_n}=32（1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n•{2^{n+1}}）$，
則$-{T_n}=32（2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}）$，
∴${T_n}=32（n-1）{2^{n+1}}+64$
（3）當(dāng)n∈N^*，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}n+5，n為奇數(shù)\\ 3n+2，n為偶數(shù)\end{array}$
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m+15為偶數(shù)，則有3（m+15）+2=5（m+5），解得m=11
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+15為奇數(shù)．若f（m+15）=5f（m）成立，m+15+5=5（3m+2），此時(shí)不成立
所以當(dāng)m=11時(shí)，f（m+15）=5f（m）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、定義，屬于對(duì)基本概念、基本公式的考查，還考查了求和方法的乘公比錯(cuò)位相減求和，屬于中檔題．