Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{x-1}$，x∈[2，5]．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（2）求不等式f（m+1）＜f（2m-1）的解集．

Answer 1

分析 （1）分離常數(shù)即可得到$f（x）=2+\frac{2}{x-1}$，容易看出f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)定義，設任意的x₁，x₂∈[2，5]，并且x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＞f（x₂），從而得出f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)f（x）的定義域及單調(diào)性便可由原不等式得出關于m的不等式組，解出m的范圍，這樣即得出原不等式的解集．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{2（x-1）+2}{x-1}=2+\frac{2}{x-1}$；
f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減，證明如下：
設x₁，x₂∈[2，5]，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{x}_{1}-1}-\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁，x₂∈[2，5]，且x₁＜x₂；
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減；
（2）f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減；
∴由f（m+1）＜f（2m-1）得：
$\left\{\begin{array}{l}{2≤m+1≤5}\\{2≤2m-1≤5}\\{m+1＞2m-1}\end{array}\right.$；
解得1≤m＜2；
∴原不等式的解集為[1，2）．

點評 考查分離常數(shù)法的運用，反比例函數(shù)的單調(diào)性，以及減函數(shù)定義，根據(jù)減函數(shù)定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式．