9.設(shè)函數(shù)f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),x>0時(shí)f(x)=x-$\frac{1}{x}$,求x<0時(shí)f(x)的表達(dá)式,判斷f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性,并用定義給出證明.

分析 由已知得x<0時(shí),f(x)=(-x)-$\frac{1}{-x}$=-x+$\frac{1}{x}$,f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)遞減,利用定義法能進(jìn)行證明.

解答 解:∵函數(shù)f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),
x>0時(shí)f(x)=x-$\frac{1}{x}$,
∴x<0時(shí),f(x)=(-x)-$\frac{1}{-x}$=-x+$\frac{1}{x}$,
f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)遞減,證明如下:
在(-∞,0)上任取x1,x2,令x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=(-x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$)-(-x2+$\frac{1}{{x}_{2}}$)=(x2-x1)+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=(x2-x1)(1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$),
∵x1,x2∈(-∞,0),x1<x2,
∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$)>0,
∴f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法,考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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