Question

15．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）-2x＜0的解集為（-1，2）．
（1）若函數(shù)y=f（x）+3a有零點，求a的取值范圍；
（2）a如何取值時，函數(shù)y=f（x）-（x²-ax+m）其中m＞1存在零點，并求出零點．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出二次函數(shù)f（x）的解析式，用a表示系數(shù)且a≠0；
（1）當函數(shù)y=f（x）+3a有零點時，△≥0，由此求出a的取值范圍；
（2）討論a=1和a≠1時，函數(shù)y=f（x）-（x²-ax+m）是否有零點，并求出對應(yīng)函數(shù)的零點．

解答 解：二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
不等式f（x）-2x＜0可化為ax²+（b-2）x+c＜0，
且解集為（-1，2），
所以對應(yīng)方程ax²+（b-2）x+c=0的兩個實數(shù)根為-1和2，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-\frac{b-2}{a}}\\{-1×2=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$，
解得c=-2a，b=2-a，
所以f（x）=ax²+（2-a）x-2a；
（1）當函數(shù)y=f（x）+3a=ax²+（2-a）x+a有零點時，
△=（2-a）²-4a²≥0，
即3a²+4a-4≤0，
解得-2≤a≤$\frac{2}{3}$；
又a≠0，
所以a的取值范圍是[-2，0）∪（0，$\frac{2}{3}$]；
（2）函數(shù)y=f（x）-（x²-ax+m）
=ax²+（2-a）x-2a-（x²-ax+m）
=（a-1）x²+2x-（2a+m），
當a=1時，f（x）=2x-（2+m）=0，存在零點是x=$\frac{m}{2}$+1；
當a≠1時，△=4+4（a-1）（2a+m）≥0，即2a²+a（m-2）-m+1≥0，
又m＞1，所以a＜$\frac{-（m-2）-\sqrt{{m}^{2}+4m-4}}{4}$或a＞$\frac{-（m-2）+\sqrt{{m}^{2}+4m-4}}{4}$且a≠1時，函數(shù)存在零點，
且零點為x=$\frac{-2±\sqrt{{2a}^{2}+a（m-2）-m+1}}{2（a-1）}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的零點與方程的解的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．