Question

4．已知$\sqrt{3}$sinx+3cosx=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，則tan（$\frac{7π}{6}$-x）等于（　�。�

• A． ±$\frac{\sqrt{7}}{3}$
• B． $±\frac{3}{4}$
• C． ±$\frac{\sqrt{7}}{4}$
• D． $±\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用兩角和的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得cos（$\frac{π}{6}$-x），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（$\frac{π}{6}$-x）的值，利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計算得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sinx+3cosx=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
⇒2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=$\frac{3}{2}$，
⇒sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{4}$，
⇒sin（x+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，
⇒cos（$\frac{π}{6}$-x）=$\frac{3}{4}$，
⇒sin（$\frac{π}{6}$-x）=±$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{6}-x）}$=±$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴tan（$\frac{7π}{6}$-x）=tan（$\frac{π}{6}$-x）=$\frac{sin（\frac{π}{6}-x）}{cos（\frac{π}{6}-x）}$=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．