Question

2．求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知雙曲線過點（4，$\sqrt{3}$），且漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標(biāo)帶入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程便可得出b=1，而根據(jù)離心率便可得到$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由a²=b²+c²便可求出a²，這樣即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）可根據(jù)雙曲線的漸近線方程設(shè)出雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=m$，而將點（4，$\sqrt{3}$）帶入雙曲線方程便可求出m，從而得出該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）橢圓經(jīng)過點A；
∴$\frac{{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（-1）^{2}}{^{2}}=1$；
∴b=1；
離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴a²=2c²；
又a²=b²+c²=1+c²；
∴c²=1，a²=2；
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）根據(jù)雙曲線的漸近線方程為y=$±\frac{1}{2}x$，可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=m$；
又雙曲線經(jīng)過點$（4，\sqrt{3}）$；
∴$\frac{16}{4}-3=m$；
∴m=1；
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

點評 考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的離心率，以及雙曲線的漸近線方程和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系，曲線上的點的坐標(biāo)和曲線方程的關(guān)系．