Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{4}$=1的右頂點(diǎn)且離心率為$\frac{3}{5}$．
（1）求C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為$\frac{4}{5}$的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的幾何量，即可求C的方程；
（2）求出直線方程$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，代入C的方程，求出A，B坐標(biāo)，即可確定結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，a=5，c=3，b=4，
∴C的方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
（2）過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為$\frac{4}{5}$的直線方程為$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$代入C的方程，得$\frac{x^2}{25}+\frac{{{{（{x-3}）}^2}}}{25}=1$，
即x²-3x-8=0，解得${x_1}=\frac{{3-\sqrt{41}}}{2}$，${x_2}=\frac{{3+\sqrt{41}}}{2}$，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)$\overline x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$，$\overline y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{2}{5}（{{x_1}+{x_2}-6}）=-\frac{6}{5}$，
即中點(diǎn)為$（{\frac{3}{2}，-\frac{6}{5}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．