Question

某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)X服從正態(tài)分布N（80，σ²）（滿(mǎn)分為100分），已知P（X＜75）=0.3，P（X≥95）=0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生隨機(jī)抽取三位同學(xué)．
（1）求抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80，85），[85，95），[95，100]各有一位同學(xué)的概率；
（2）記抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[75，85]的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知得P（80≤X＜85）=1-P（X≤75）=0.2，P（85≤x＜95）=0.3-0.1=0.2，由此能求出抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80，85），[85，95），[95，100]各有一位同學(xué)的概率．
（2）P（75≤X≤85）=1-2P（X＜75）=0.4，從而ξ服從二項(xiàng)分布B（3，0.4），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（1）P（80≤X＜85）=1-P（X≤75）=0.2，
P（85≤x＜95）=0.3-0.1=0.2，
所以所求概率P=

A

3 3

×0.2×0.2×0.1=0.024．
（2）P（75≤X≤85）=1-2P（X＜75）=0.4，
所以ξ服從二項(xiàng)分布B（3，0.4），
P（ξ=0）=0.6³=0.216，
P（ξ=1）=3×0.4×0.6²=0.432，
P（ξ=2）=3×0.4²×0.6=0.288，
P（ξ=3）=0.4³=0.064，
所以隨機(jī)變量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

Eξ=3×0.4=1.2．（人）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)就是的分布列和數(shù)學(xué)期望的合理運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．