Question

14．將函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再沿x軸向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則y=g（x）的一個(gè)遞增區(qū)間是（　�。�

• A． $[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$
• B． $[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$
• C． $[{-\frac{π}{12}，\frac{4π}{3}}]$
• D． $[{-\frac{π}{4}，0}]$

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為 f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求函數(shù)g（x），令x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z即可得解．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
再沿x軸向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)解析式為y=g（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
令x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，解得：x∈[-$\frac{π}{6}$+2kπ，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z，
取k=0，可得：x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．