Question

4．已知拋物線y²=4x，直線l過(guò)定點(diǎn)P（2，1），斜率為k，當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程代入拋物線方程整理可得k²x²+（-4k²+2k-4）x+4k²-4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）只有一個(gè)根
（2）直線與拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)?（*）有兩個(gè)根
（3）直線與拋物線沒(méi)有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）沒(méi)有根

解答 解：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x-2）+1，
代入拋物線方程整理可得k²x²+（-4k²+2k-4）x+4k²-4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于（*）只有一個(gè)根
①k=0時(shí)，y=1符合題意；
②k≠0時(shí)，△=（-4k²+2k-4）²-4k²（4k²-4k+1）=0，整理，得2k²-k+1=0，無(wú)解，
綜上可得，k=0；
（2）由（1）得2k²-k+1＞0且k≠0，∴k≠0；
（3）由（1）得2k²-k+1＜0，無(wú)解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由直線與拋物線的位置關(guān)系的求解參數(shù)的取值范圍，一般的思路是把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解的問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．