Question

已知△ABC中，過重心G的直線交邊AB于點P（異于點B），交邊AC于點Q（異于點C），設△APQ的面積為S₁，△ABC面積為S₂，

AP

=p

PB

，

AQ

=q

QC

，則

S1

S2

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,平面向量及應用

分析：先設

AB

=

c

，

AC

=

b

，連接AG并延長AG交BC于M，此時M是BC的中點．于是

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

2

（

b

+

c

），

AG

=

1

3

（

b

+

c

）因為P、G、Q三點共線，建立關于參數(shù)的等式，消去參數(shù)t，可得

1

λ

+

1

μ

=3，由于△APQ與△ABC有公共角，則

S1

S2

=λμ，將其表示成關于λ的函數(shù)解析式，利用函數(shù)的最值問題即可求出

S1

S2

的取值范圍．

解答： 解：（1）設

AB

=

c

，

AC

=

b

，
連接AG并延長AG交BC于M，此時M是BC的中點．
于是

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

2

（

b

+

c

），

AG

=

1

3

（

b

+

c

）
又由已知

AP

=λ

AB

=λ

c

，

AQ

=μ

AC

=μ

b

．
∴

PQ

=

AQ

-

AP

=μ

b

-λ

c

，

PG

=

AG

+

PA

=

1

3

（

b

+

c

）-λ

c

=（

1

3

-λ）

c

+

1

3

b

，
因為P、G、Q三點共線，則存在實數(shù)t，滿足

PG

=t

PQ

，
所以（

1

3

-λ）

c

+

1

3

b

=tμ

b

-tλ

c

，
即：

1

3

-λ=-tλ，且tμ=

1

3

，
消去參數(shù)t得：

1

λ

+

1

μ

=3，
由于△APQ與△ABC有公共角，則

S1

S2

=

| AP |×| AQ |

| AB |×| AC |

=λμ，
由題設有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是

1

λ

≥1，

1

μ

≥1，
∵

1

λ

=3-

1

μ

≤2，
∴1≤

1

λ

≤2，
∵

1

λ

+

1

μ

=3，
∴μ=

λ

3λ-1

，
∴

S1

S2

=λμ=

λ2

3λ-1

=

1

-( 1 λ )2+3( 1 λ )

=

1

-( 1 λ - 3 2 )2+ 9 4

，
∵1≤

1

λ

≤2，
∴當

1

λ

=

3

2

，

S1

S2

有最小值

4

9

，當

1

λ

=1或2時，

S1

S2

有最大值

1

2

，
∴

S1

S2

的取值范圍為[

4

9

，

1

2

]，
故答案為：[

4

9

，

1

2

]

點評：本題考查的知識點是向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，其中根據(jù)向量共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實數(shù)λ，使得

PG

=t

PQ

，進而得到x，y的關系式，是解答本題的關鍵．