Question

在極坐標系中，曲線L：ρsin²θ=2cosθ，過點A（5，α）（α為銳角且tanα=

3

4

）作平行于θ=

π

4

（ρ∈R）的直線l，且l與曲線L分別交于B，C兩點．則|BC|的長為

 

．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：先求的點A的直角坐標為（4，3），求得曲線L的普通方程為：y²=2x，由于直線l的斜率為1，且過點A（4，3），由點斜式求得直線l的普通方程為y=x-1．把曲線L的方程和直線l的方程聯(lián)立方程組，化為一元二次方程，利用韋達定理求出x₁+x₂4和x₁•x₂的值，再利用弦長公式求得|BC|的值．

解答： 解：由題意得，點A的直角坐標為（4，3），
曲線L即ρ²sin²θ=2ρcosθ，它的普通方程為：y²=2x，
由于直線l的斜率為1，且過點A（4，3），故直線l的普通方程為：y-3=x-4，即y=x-1．
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），由l與曲線L可得 x²-4x+1=0，
由韋達定理得x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，
由弦長公式得|BC|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

6

，
故答案為：2

6

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．