Question

已知

OA

，

OB

是不共線的向量，點C在直線AB上，且滿足

OC

=（sinα-

1

5

）•

OA

+（1+cosα）•

OB

，α∈（0，π），則tanα的值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由已知條件得A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)k使得：

AC

=k

AB

，這樣可得到

OC

=(1-k)

OA

+k

OB

，根據(jù)平面向量基本定理便得到，

sinα- 1 5 =1-k 1+cosα=k

，結(jié)合sin²α+cos²α=1便可解出sinα，cosα，所以即可求出tanα．

解答： 解：C在直線AB上，∴C，A，B三點共線，所以存在實數(shù)k，使：

AC

=k

AB

，即，

OC

-

OA

=k(

OB

-

OA

)，∴

OC

=(1-k)

OA

+k

OB

；
∴根據(jù)平面向量基本定理有，

sinα- 1 5 =1-k 1+cosα=k

，∴sinα-

1

5

+1+cosα=1，即sinα+cosα=

1

5

    ①；
又sin²α+cos²α=1      ②，∴由①得cosα=

1

5

-sinα，帶入②并整理得：25sin²α-5sinα-12=0，解得sinα=

4

5

，或-

3

5

；
∵α∈（0，π），∴sinα＞0，∴sinα=

4

5

，cosα-

3

5

；
∴tanα=-

4

3

．
故答案為：-

4

3

．

點評：考查共線向量基本定理，平面向量基本定理，在求sinα，cosα時注意α的范圍．