Question

16．l是經(jīng)過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A，B是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，若在l上存在一點(diǎn)P，使∠APB=60°，則雙曲線的離心率的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)F（c，0），直線l：x=c，P（c，n），A（-a，0），B（a，0），由兩直線的夾角公式可tan∠APB=|$\frac{{k}_{PA}-{k}_{PB}}{1+{k}_{PA}•{k}_{PB}}$|，由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式，結(jié)合離心率公式，即可得到所求最大值．

解答 解：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)F（c，0），直線l：x=c，
可設(shè)點(diǎn)P（c，n），A（-a，0），B（a，0），
由兩直線的夾角公式可得tan∠APB=|$\frac{{k}_{PA}-{k}_{PB}}{1+{k}_{PA}•{k}_{PB}}$|
=|$\frac{\frac{n}{c+a}-\frac{n}{c-a}}{1+\frac{{n}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}}$|=$\frac{2a|n|}{{n}^{2}+（{c}^{2}-{a}^{2}）}$=$\frac{2a}{|n|+\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{|n|}}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
由|n|+$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{|n|}$≥2$\sqrt{|n|•\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{|n|}}$=2$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
可得$\sqrt{3}$≤$\frac{a}{\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}}$，
化簡(jiǎn)可得3c²≤4a²，即c≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)n=±$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，即P（c，±$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$），離心率取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的最值的求法，注意運(yùn)用兩直線的夾角公式和直線的斜率公式及基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．