Question

11．在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2$\sqrt{3}$，∠DAC=30°，M為PB中點．
（1）證明：AM∥平面PCD；
（2）若二面角M-PC-D的余弦值為-$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，求PA的長．

Answer 1

分析 取PC的中點為N，連結(jié)MN，DN
（1）證明四邊形AMND為平行四邊形，得到AM∥ND．即可證明AM∥平面PCD．
（2）以A為坐標原點，AN為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)PA=t（t＞0），求出平面PMC的法向量，平面PCD的法向量，利用二面角M-PC-D的余弦值為$-\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，求解即可．

解答 （本小題滿分12分）

解：取PC的中點為N，連結(jié)MN，DN
（1）∵M是PB的中點，∴$MN∥BC，MN=\frac{1}{2}BC$
∵AD∥BC，且BC=2AD，∴NM∥AD且NM=AD，∴四邊形AMND為平行四邊形，∴AM∥ND．
又∵AM?平面PCD，ND?平面PCD
所以AM∥平面PCD．（6分）
（2）以A為坐標原點，AN為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

設(shè)PA=t（t＞0），∵∠DAC=30°，∴CD=1，由題意可求得：$\overrightarrow{BC}=（0，2\sqrt{3}，0），\overrightarrow{DC}=（1，0，0），\overrightarrow{PC}=（1，\sqrt{3}，-t）$．
設(shè)$\overrightarrow m=（x，y，-1）$為平面PMC的法向量，$\overrightarrow n=（x'，y'，1）$為平面PCD的法向量，則有：$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y+t=0}\\{2\sqrt{3}y=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=0}\end{array}}\right.$，
所以$\overrightarrow{m}$=（-t，0，-1），
可得$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x'+\sqrt{3}y'-t=0}\\{x'=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x'=0}\\{y'=\frac{t}{{\sqrt{3}}}}\end{array}}\right.$，
所以$\overrightarrow n=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}t，1）$，
∵二面角M-PC-D的余弦值為$-\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，∴$\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{-1}{{\sqrt{{t^2}+1}•\sqrt{\frac{t^2}{3}+1}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
化簡得t⁴+4t²-5=0，所以t=1，
即PA=1（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及二面角的平面鏡的應(yīng)用，考查計算能力以及空間想象能力．