Question

3．棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA=2BC=4，則該球的表面積為$\frac{112}{3}$π．

Answer 1

分析 由題意把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求出球的表面積．

解答 解：由題意畫出幾何體的圖形如圖，
把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱，
上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，
PA=2BC=4，OE=2，△ABC是正三角形，∴AB=2，
∴AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
AO=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{\frac{28}{3}}$．
所求球的表面積為：4π（$\sqrt{\frac{28}{3}}$）²=$\frac{112}{3}$π．
故答案為：$\frac{112}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補(bǔ)法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．