Question

如圖，已知四棱錐P -ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD， ,

E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)。

（I）證明：AEPD；

（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E―AF―C的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.因?yàn)?i>E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD. 因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE. 而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD. 所以AE⊥PD.

（Ⅱ）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，所以  當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大，

即當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠EHA最大. 此時(shí)tan∠EHA=

因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.

解法一：因?yàn)?nbsp;  PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以   平面PAC⊥平面ABCD.

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

  

在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

又

在Rt△ESO中，cos∠ESO=

即所求二面角的余弦值為

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），

所以

設(shè)平面AEF的一法向量為

則     因此

取

因?yàn)?i>BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，

故為平面AFC的一法向量.

又=（-），

所以cos＜m, ＞==

因?yàn)?nbsp;  二面角E-AF-C為銳角，

所以所求二面角的余弦值為