Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，$\sqrt{3}$），若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值是2．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），根據(jù)向量數(shù)量積的垂直的等價(jià)條件，求出x，y滿足的條件，結(jié)合|$\overrightarrow{c}$|的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（1-x，-y），$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$=（-x，$\sqrt{3}$-y），
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴（1-x，-y）•（-x，$\sqrt{3}$-y）=0，
即-x（1-x）-y（$\sqrt{3}$-y）=0
即x²-x+y²-$\sqrt{3}$y=0，
即（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1，
則圓心C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
則|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，則|$\overrightarrow{c}$|的幾何意義是圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
則|OC|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1，
則|$\overrightarrow{c}$|的最大值是|OC|+1=1+1=2，
故答案為：2

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．