Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且離心率e=$\frac{1}{3}$，點P在該橢圓上滿足|PF₂|=$\frac{8}{3}$c（c為焦半距）
（1）是否存在點P，使△PF₁F₂的邊長是由自然數(shù)構(gòu)成的公差為2的等差數(shù)列，若存在，求出實數(shù)c的值；若不存在，請說明理由；
（2）當c=1時，A是橢圓C的左頂點，且M，N是橢圓C上的兩個動點，|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|，問直線MN是否過定點？若是，求出定點的坐標，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出|PF₂|=$\frac{8}{3}$c，|PF₁|=$\frac{1}{3}$c，利用△PF₁F₂的邊長是由自然數(shù)構(gòu)成的公差為2的等差數(shù)列，可得2c-$\frac{1}{3}$c=$\frac{8}{3}$c-2c=2，無解，即可得出結(jié)論．
（2）若|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|，則$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{AN}$，分直線MN斜率存在與不存在討論，即可求得直線MN過定點（-$\frac{3}{17}$，0）．

解答 解：（1）∵離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，∴a=3c，b=2$\sqrt{2}$c，
∵|PF₂|=$\frac{8}{3}$c，
∴|PF₁|=$\frac{10}{3}$c，
∵△PF₁F₂的邊長是由自然數(shù)構(gòu)成的公差為2的等差數(shù)列，
∴2c+2=$\frac{8}{3}$c，c=3，
∴存在點P，使△PF₁F₂的邊長是由自然數(shù)構(gòu)成的公差為2的等差數(shù)列；
（2）當c=1時，a=3，b=2$\sqrt{2}$，∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
若|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|，則$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{AN}$．由題意知A（-3，0）．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN斜率不存在，則N（x₁，-y₁），由$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{AN}$得（x₁+3）（x₁+3）-y₁²=0，
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}=1$，解得直線MN方程為x=-$\frac{3}{17}$．
若直線MN斜率存在，設方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（9k²+8）x²+18kmx+9m²-72=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{18km}{9{k}^{2}+8}$，x₁x₂=$\frac{9{m}^{2}-72}{9{k}^{2}+8}$．
由$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{AN}$得（x₁+3）（x₂+3）+y₁y₂=0，
整理得（k²+1）x₁x₂+（km+3）（x₁+x₂）+m²+9=0
∴（k²+1）×$\frac{9{m}^{2}-72}{9{k}^{2}+8}$+（km+3）×（-$\frac{18km}{9{k}^{2}+8}$）+m²+9=0．
解得m=$\frac{3}{17}$k或m=3k．
若m=3k，即直線MN過定點（-3，0），不合題意舍去．
m=$\frac{3}{17}$k，此時直線過定點（-$\frac{3}{17}$，0）合題意．
斜率不存在時依然滿足．

點評 本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，聯(lián)立方程，利用韋達定理解題是關(guān)鍵．