Question

16．已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且圓與直線4x+3y-29=0相切，設直線ax-y+5=0（a
＞0）與圓相交于A，B兩點．
（1）求圓的標準方程；
（2）求實數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)a，使得線AB的垂直平分線l過點P（-2，4）？

Answer 1

分析 （1）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，所以 $\frac{|4m-29|}{5}$=5，由此能求了圓的方程．
（2）把直線ax-y+5=0代入圓的方程，得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，由于直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，由此求出實數(shù)a的取值范圍．
（3）設符合條件的實數(shù)a存在，則直線l的斜率為-$\frac{1}{a}$，l的方程為y=-$\frac{1}{a}$（x+2）+4，由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，由此推導出存在實數(shù)a=$\frac{3}{4}$使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．

解答 解：（1）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．
由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，
所以 $\frac{|4m-29|}{5}$=5，
即|4m-29|=25．因為m為整數(shù)，故m=1．
故所求圓的方程為（x-1）²+y²=25． 
（2）把直線ax-y+5=0，即y=ax+5，
代入圓的方程，消去y，
整理，得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，
由于直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，
故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
即12a²-5a＞0，
由于a＞0，解得a＞$\frac{5}{12}$，
所以實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{5}{12}$，+∞）．
（3）設符合條件的實數(shù)a存在，
則直線l的斜率為-$\frac{1}{a}$，
l的方程為y=-$\frac{1}{a}$（x+2）+4，
即x+ay+2-4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2-4a=0，解得a=$\frac{3}{4}$．
由于$\frac{3}{4}$∈（$\frac{5}{12}$，+∞），故存在實數(shù)a=$\frac{3}{4}$使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB

點評 本題考查圓的方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，探索滿足條件的實數(shù)是否存在．對數(shù)學思維要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．