Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，證明$f（x）≥\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，對(duì) a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=$\frac{（x-a）（x-1）}{x}$（x＞0）
（1）0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＜0，可得a＜x＜1，
∵x＞0，∴a＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＜a或x＞1，
∵x＞0，∴0＜x＜a或x＞1
∴函數(shù)f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減；
（2）a=1時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）a＞1時(shí)，令f′（x）＜0，可得1＜x＜a，
∵x＞0，∴1＜x＜a；
令f′（x）＞0，可得x＞a或x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1或x＞a
∴函數(shù)f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）a=-1時(shí)，f（x）=-lnx+$\frac{{x}^{x}}{2}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴x=1時(shí)，f（x）取最小值是f（1）=$\frac{1}{2}$，
故f（x）≥$\frac{1}{2}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．