Question

3．若函數(shù)f（x）=x⁴+4x³+ax²-4x+1的圖象恒在x軸上方，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為ax²＞-x⁴-4x³+4x-1，x=0時，成立，x≠0時，a＞-${（x-\frac{1}{x}）}^{2}$-4（x-$\frac{1}{x}$）-2，求出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=x⁴+4x³+ax²-4x+1＞0，
∴ax²＞-x⁴-4x³+4x-1，
x=0時，成立，
x≠0時，a＞-x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$-4（x-$\frac{1}{x}$）=-${（x-\frac{1}{x}）}^{2}$-4（x-$\frac{1}{x}$）-2，
設(shè)x-$\frac{1}{x}$=t，則a＞-t²-4t-2=-（t+2）²+2，
要使x≠0時a恒大于-（t+2）²+2，
則只需a比-（t+2）²+2的最大值大，
故a＞2，
綜上，a＞2，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．