Question

15．對(duì)于同一平面的單位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，則$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow c）$的最大值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 可由條件得到$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow|=1，|\overrightarrow{c}|=1$，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}$，$|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|=1$，從而進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算便可得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}）=\frac{1}{2}+2cosθ$，其中θ表示向量$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$的夾角，從而便可得出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}）$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}$；
∴$（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）^{2}=1-1+1=1$；
∴$|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|=1$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}）={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{2}+2（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{2}+2|\overrightarrow-\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|cosθ$
=$\frac{1}{2}+2cosθ≤\frac{5}{2}$，θ表示向量$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$和向量$\overrightarrow{c}$的夾角；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}）$的最大值為$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量夾角的概念及范圍，余弦函數(shù)的最值．