Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²cos$\frac{πx}{2}$，數(shù)列{a_n}中，a_n=f（n）+f（n+1）（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)之和S₁₀₀=10200．

Answer 1

分析 f（x）=x²cos$\frac{πx}{2}$，可得a_n=f（n）+f（n+1）=${n}^{2}cos\frac{nπ}{2}$+$（n+1）^{2}cos\frac{（n+1）π}{2}$，分別求出a_4n-3，a_4n-2，a_4n-1，a_4n，再利用“分組求和”方法即可得出．

解答 解：∵f（x）=x²cos$\frac{πx}{2}$，
∴a_n=f（n）+f（n+1）=${n}^{2}cos\frac{nπ}{2}$+$（n+1）^{2}cos\frac{（n+1）π}{2}$，
a_4n-3=$（4n-3）^{2}cos\frac{4n-3}{2}π$+（4n-2）²$cos\frac{4n-2}{2}π$=-（4n-2）²，
同理可得：a_4n-2=-（4n-2）²，a_4n-1=（4n）²，a_4n=（4n）²．
∴a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=-2（4n-2）²+2（4n）²=8（4n-1）．
∴數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)之和S₁₀₀=8×（3+7+…+99）=10200．
故答案為：10200．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列“分組求和”方法、分類討論方法、三角函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．