Question

6．在圓x²+y²=4上任取一點P，過P作x軸的垂線段，D為垂足，當點P在圓上運動時，記線段PD中點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設$A（{-\sqrt{3}，0}），B（{\sqrt{3}，0}）$，試判斷（并說明理由）軌跡C上是否存在點Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設點M（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由于點M為線段的PD中點，推出P的坐標代入圓的方程求解即可．
（Ⅱ）軌跡C上存在點Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立，方法一：假設軌跡C上存在點Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．得到a，b關系式，又Q（a，b）在$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上，然后求解a，b 說明存在$Q（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$或$Q（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．
方法二：由（Ⅰ）知軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，假設軌跡C上存在點Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$，
即以AB為直徑的圓與橢圓要有交點，則必須滿足c≥b，得到結論．

解答 解：（Ⅰ）設點M（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由于點M為線段的PD中點
則$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x\\{y_0}=2y.\end{array}\right.$即點P（x，2y）…（3分）
所以點P在圓x²+y²=4上，即x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）軌跡C上存在點Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．…（7分）
方法一：假設軌跡C上存在點Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．
因為$\overrightarrow{AQ}=（{a+\sqrt{3}，b}）$，$\overrightarrow{BQ}=（{a-\sqrt{3}，b}）$，所以$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}={a^2}-3+{b^2}=0$…①
…（9分）
又Q（a，b）在$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上，所以$\frac{a^2}{4}+{b^2}=1$…②…（10分）
聯立①②解得$a=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
即存在$Q（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$或$Q（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．…（12分）
方法二：由（Ⅰ）知軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，焦點恰為$A（{-\sqrt{3}，0}），B（{\sqrt{3}，0}）$，$c=\sqrt{3}，b=1$．
…（8分）
假設軌跡C上存在點Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$，
即以AB為直徑的圓與橢圓要有交點，…（10分）
則必須滿足c≥b，這顯然成立，
即軌跡C上存在點Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．