利用函數(shù)的單調(diào)性定義研究函數(shù)f(x)=在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

思路解析:首先確定定義域;再在R上任取x1,x2,且x1＜x2;再作差f(x1)-f(x2);再對差式進行分子有理化的變形,其關(guān)鍵是分子有理化的變形.

解:∵定義域是x≥-1,∴任意選取x1、x2,使-1≤x1＜x2,則f(x1)= ,f(x2)=.

∴f(x1)-f(x2)= -=.

∵-1≤x1＜x2,∴x1-x2＜0.∴＜0,即f(x1)＜f(x2).

∴函數(shù)f(x)=在定義域內(nèi)是增函數(shù).

深化升華

(1)在利用函數(shù)單調(diào)性的定量化定義證明函數(shù)的單調(diào)性時,變形和定號是關(guān)鍵的兩步.變形的目的不是化簡而是為了定號,應(yīng)該變形到非常容易說明差的符號的形式為止,變形不充分不到位,則不易定號.

(2)為了達到定號的目的,注意一些變形的常用的技巧,像通分、分解因式、分子有理化等.

方法歸納

利用函數(shù)定量化的嚴(yán)格定義,證明函數(shù)的單調(diào)性是我們研究函數(shù)單調(diào)性的一種重要方法,在證明的過程中,選取自變量的兩個一大一小值后,比較這兩個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值的大小是證明的關(guān)鍵,其中“作差”比較大小是我們的一個常用方法.利用單調(diào)性的定量定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是:

①任取→②作差→③變形→④定號.

利于定義研究有理函數(shù)單調(diào)性時,經(jīng)常的變形方法是通分,分解因式；對無理函數(shù)經(jīng)常的變形方法是分子或分母有理化.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函f(x)=
xx-1
，x∈[2，4]是單調(diào)遞減函數(shù)，并求函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)=ax2＋bx+c(a＞0)在區(qū)間(-∞,-)上是減函數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),且恒有f(x)＞0,設(shè)F(x)=.利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)F(x)是R上的減函數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)學(xué)公式，x∈[2，4]是單調(diào)遞減函數(shù)，并求函數(shù)的值域．

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