利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)=ax2＋bx+c(a＞0)在區(qū)間(-∞,-)上是減函數(shù).

思路解析:證明的關(guān)鍵是作差后分解因式,并正確地利用區(qū)間(-∞,-］確定其符號(hào).

證明:在(-∞,-］上任意選取x1,x2,且x1＜x2,

則f(x1)=ax12+bx1+c,f(x2)=ax22+bx2+c.

∴f(x1)-f(x2)=ax12+bx1+c-(ax22+bx2+c)=a(x12-x22)+b(x1-x2)=(x1-x2)［a(x1+x2)+b］=a(x1-x2)［(x1+x2)+］.

∵-∞＜x1＜x2≤-,

∴x1-x2＜0,-∞＜x1+x2＜-.

∴x1+x2+＜0.

又∵a＞0,∴a(x1-x2)［(x1+x2)+ ］＞0,即f(x1)＞f(x2).

∴函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在區(qū)間(-∞,- )上是減函數(shù).

深化升華

在利用函數(shù)單調(diào)性的定量化定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要特別注意所給區(qū)間在證明過(guò)程中所發(fā)揮的作用.對(duì)于同一個(gè)函數(shù)所給區(qū)間的不同則可能有不同的單調(diào)性.甚至沒(méi)有單調(diào)性.在例題2中正因?yàn)槔昧?∞＜x1＜x2≤-,才說(shuō)明了x1+x2+的符號(hào),進(jìn)而說(shuō)明了a(x1-x2)［(x1+x2)+ ］的符號(hào).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函f(x)=
xx-1
，x∈[2，4]是單調(diào)遞減函數(shù)，并求函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

利用函數(shù)的單調(diào)性定義研究函數(shù)f(x)=在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),且恒有f(x)＞0,設(shè)F(x)=.利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)F(x)是R上的減函數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)學(xué)公式，x∈[2，4]是單調(diào)遞減函數(shù)，并求函數(shù)的值域．

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