Question

11．已知函數$f（x）={log_a}\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并給出證明；
（3）當x∈（a-2，n）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0，化簡求解m即可．
（2）利用$f（x）={log_a}\frac{1+x}{x-1}$，通過換元法，結合當x₁＞x₂＞1時，判斷函數的單調性，當a＞1時，當0＜a＜1時，判斷函數的單調性．
（3）求出函數f（x）的定義域，通過0＜a＜1．f（x）在（a-2，n）為增函數，列出方程，a＞1，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0對定義域中的x均成立．
∴${log_a}\frac{mx+1}{-x-1}+{log_a}\frac{1-mx}{x-1}=0$，
即$\frac{mx+1}{-x-1}•\frac{1-mx}{x-1}=1$…（1分）
∴m²x²-1=x²-1對定義域中的x均成立．m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．…（3分）
（2）由（1）得$f（x）={log_a}\frac{1+x}{x-1}$，設$t=\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，
∴當x₁＞x₂＞1時，${t_1}-{t_2}=\frac{2}{{{x_1}-1}}-\frac{2}{{{x_2}-1}}=\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，∴t₁＜t₂．…（4分）
當a＞1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．…（5分）
∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數．…（6分）
同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數．…（7分）
（3）∵函數f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴①a-2＜n≤-1，∴0＜a＜1．∴f（x）在（a-2，n）為增函數，要使值域為（1，+∞），
有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1+n}{n-1}=0\\ \frac{1+（a-2）}{（a-2）-1}=a\end{array}\right.$解得：n=-1，$a=2-\sqrt{3}$（$a=2+\sqrt{3}$不符題意，舍去）…（9分）
?1≤a-2＜n∈Z，∴a＞2．∴f（x）在（a-2，n）為減函數，要使值域為（1，+∞），
有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1+n}{n-1}=a\\ a-2=1\end{array}\right.$解得：n=2，a=3…（11分）
綜上n=-1，$a=2-\sqrt{3}$或n=2，a=3…（12分）

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．