Question

17．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin²θ=2cosθ，過點P（2，-1）的直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于M、N兩點．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）求|PM|²+|PN|²的值．

Answer 1

分析 （1）由ρsin²θ=2cosθ得ρ²sin²θ=2ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，代入即可得出直角坐標方程．根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t得普通方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程化為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=2x中，整理得${t^2}-4\sqrt{2}t-6=0$．由參數(shù)的幾何意義，可知：|PM|²+|PN|²=${t}_{1}^{2}+{t}_{2}^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂即可得出．

解答 解：（1）由ρsin²θ=2cosθ得ρ²sin²θ=2ρcosθ，
∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，∴y²=2x；
根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t得，x-y-3=0，
故曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程分別是y²=2x，x-y-3=0．
（2）將直線l的參數(shù)方程化為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=2x中，
整理得${t^2}-4\sqrt{2}t-6=0$．
設(shè)t₁，t₂是該方程的兩根，則$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=4\sqrt{2}\\{t_1}{t_2}=-6\end{array}\right.$，
由參數(shù)的幾何意義，可知${|{PM}|^2}+{|{PN}|^2}=t_1^2+t_2^2={（{t_1}+{t_2}）^2}-2{t_1}{t_2}=44$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．