Question

6．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1-ax}{x-1}$）滿足f（-2）=1，其中a為實常數(shù)．
（1）求a的值，并判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+t在x∈[2，3]上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-2）=1，構造方程，可得a的值，結合奇偶性的寶義，可判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+t在x∈[2，3]上恒成立，則t＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）-（$\frac{1}{2}$）^x在x∈[2，3]上恒成立，構造函數(shù)求出最值，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1-ax}{x-1}$）滿足f（-2）=1，
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+2a}{-3}$）=1，
∴$\frac{1+2a}{-3}$=$\frac{1}{3}$，
解得：a=-1，
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）的定義域（-∞，-1）∪（1，+∞）關于原點對稱；
又∵f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1-x}{-x-1}$）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{x-1}{x+1}$）=-log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）若不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+t在x∈[2，3]上恒成立，
則t＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）-（$\frac{1}{2}$）^x在x∈[2，3]上恒成立，
設g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）-（$\frac{1}{2}$）^x，
則g（x）在[2，3]上是增函數(shù)．
∴g（x）＞t對x∈[2，3]恒成立，
∴t＜g（2）=-$\frac{5}{4}$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，單調(diào)性的證明以及不等式恒成立問題，構造函數(shù)，利用參數(shù)分離法是解決函數(shù)恒成立問題的基本方法．