Question

如圖，公園內(nèi)有一塊邊長為2a的正三角形ABC空地，擬改建成花園，并在其中建一直道DE方便花園管理．設D、E分別在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面積．
（1）設AD=x（x≥a），DE=y，試將y表示為x的函數(shù)關系式；
（2）若DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望其最短，DE的位置應在哪里？若DE是參觀路線，希望其最長，DE的位置應在哪里？

Answer 1

解：（1）因為DE均分三角形ABC的面積，
所以，即．
在△ADE中，由余弦定理得．
因為0≤AD≤2a，0≤AE≤2a，所以解得a≤x≤2a．
故y關于x的函數(shù)關系式為．
（2）令t=x²，則a²≤t≤2a²，且．
設．
若a²≤t₁＜t₂≤2a²，則
所以f（t）在[a²，2a²]上是減函數(shù)．同理可得f（t）在[2a²，4a²]上是增函數(shù)．
于是當t=2a²即時，，此時DE∥BC，且．
當t=a²或t=4a²即x=a或2a時，，此時DE為AB或AC上的中線．
故當取且DE∥BC時，DE最短；當D與B重合且E為AC中點，或E與C重合且D為AB中點時，DE最長．
分析：（1）先根據(jù)S_△ADE=S_△ABC求得x和AE的關系，進而根據(jù)余弦定理把x和AE的關系代入求得x和y的關系．
（2）根據(jù)均值不等式求得y的最小值，求得等號成立時的x的值，判斷出DE∥BC，且DE=a．進而可得函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)其單調(diào)性求得函數(shù)的最大值．
點評：本題主要考查了基本不等式，以及函數(shù)的單調(diào)型求最值，考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力，屬于綜合題．