Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，a₁=1，a_n＜a_n+1，且S₃=2S₂+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=（2n-1）×a_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）b_n=（2n-1）×a_n=（2n-1）×2^n-1，再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁=1，且S₃=2S₂+1．
∴1+q+q²=2（1+q）+1，
化為q²-q-2=0，
解得q=-1或2．
∵a₁=1，a_n＜a_n+1，
∴q＞1．
∴q=2．
∴an=2n-1．
（2）b_n=（2n-1）×a_n=（2n-1）×2^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=1+2×2+2×2²+…+2^n-1-+（2n-1）×2ⁿ=

2×(2n-1)

2-1

-1-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ+3．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．