Question

已知（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、a＜-

  3

  5

  或a＞1
• B、-

  3

  5

  ＜a＜1
• C、-

  3

  5

  ＜a≤1或a=-1
• D、-

  3

  5

  ＜a≤1

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先題目由不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，考慮轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．對任意的x，函數(shù)值小于零的問題．再分類討論a=1或a≠1的情況即可解出答案．

解答： 解：設(shè)函數(shù)f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．
由題設(shè)條件關(guān)于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集為R．
可得對任意的x屬于R，都有f（x）＜0．
又當(dāng)a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）是關(guān)于x的拋物線．故拋物線必開口向下，且于x軸無交點(diǎn)，
故滿足

a2-1＜0 △=(a-1)2+4(a2-1)＜0

，
解得-

3

5

＜a＜1．
當(dāng)a=1時(shí)．f（x）=-1滿足題意．
綜上，a的取值范圍為（-

3

5

，1]．
故選D．

點(diǎn)評：此題主要考查一元二次不等式的恒成立問題，一般與二次函數(shù)相結(jié)合考慮解集與函數(shù)圖象的關(guān)系．