Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c，若直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c）與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，且滿足sin∠PF₁F₂=cos∠PF₂F₁，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 由sin∠PF₁F₂=cos∠PF₂F₁，可得∠PF₁F₂+∠PF₂F₁=90°，因此∠F₁PF₂=90°，由直線的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得∠PF₁F₂=30°，由直角三角形的性質(zhì)可知|PF₂|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，再雙曲線的定義，求得a和c的關(guān)系，利用雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：sin∠PF₁F₂=cos∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂+∠PF₂F₁=90°，
∴∠F₁PF₂=90°，
由直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），過雙曲線的左焦點(diǎn)，且tan∠PF₁F₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PF₁F₂=30°，
∵|F₁F₂|=2c 
∴|PF₂|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，
∴2a=$\sqrt{3}$c-c
∴e=$\frac{c}{a}$$\frac{c}{\frac{\sqrt{3}c-c}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，直角三角形的性質(zhì)，雙曲線的定義，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．