Question

已知，（ a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底）．

（1）

（2）時取得極小值，試確定a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設(shè)的極大值構(gòu)成的函數(shù)，將a換元為x，試判斷是否能與（m為確定的常數(shù)）相切，并說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）使函數(shù)在時取得極小值的的取值范圍是；（3）不能相切，過程見解析．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，,先求導(dǎo)函數(shù)，將代入可得；（2），令，得或，對進(jìn)行討論，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有極小值，當(dāng)時，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，當(dāng)時，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（3）極大值為，則，可得，令則恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)．當(dāng)時，，即恒有，直線斜率為，不可能相切．

解（1）當(dāng)時，．．

所以．

（2）．

令，得或．

當(dāng)，即時，

恒成立，

此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有極小值；

當(dāng)，即時，

若，則．若，則．

所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)．

當(dāng)，即時，

若，則．若，則．

此時是函數(shù)的極大值點(diǎn)．

綜上所述，使函數(shù)在時取得極小值的的取值范圍是．

（3）由（2）知當(dāng)，且時，，

因此是的極大值點(diǎn)，極大值為．

所以．．

令．

則恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)．

所以當(dāng)時，，即恒有．

又直線的斜率為，

所以曲線不能與直線相切．

考點(diǎn)：函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義．