Question

△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，△ABC的面積為S，且

a

b+c

+

b

a+c

=1，
（1）求角C的大��；
（2）若c²≤

3

ab-

3

2

b²，且c=

6

，求S的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）將已知等式化簡整理，再由余弦定理，即可得到C；
（2）由（1）得，c²=a²+b²-ab≤

3

ab-

3

2

b²，則a²-（1+

3

）ab+

2+ 3

2

b²≤0，運(yùn)用完全平方公式，即可得到
a=

1+ 3

2

b，再由a²+b²-ab=6，解出a，b，再運(yùn)用面積公式，即可得到．

解答： 解：（1）

a

b+c

+

b

a+c

=1，
即

a

b+c

=1-

b

a+c

，即有a²+ac=（b+c）（a+c-b），
即有c²=a²+b²-ab，而由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC，
故有2abcosC=ab，從而cosC=

1

2

，由于角C為△ABC中內(nèi)角，
故C=

π

3

；
（2）由（1）得，c²=a²+b²-ab≤

3

ab-

3

2

b²，
則a²-（1+

3

）ab+

2+ 3

2

b²≤0，
即有（a-

1+ 3

2

b）²≤0，但（a-

1+ 3

2

b）²≥0，
則a=

1+ 3

2

b，
由c=

6

，得a²+b²-ab=6，
解得，a=1+

3

，b=2，
則S=

1

2

absinC=

1

2

×2×(1+

3

)×

3

2

=

3+ 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查化簡和整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．