Question

4．已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，1）在橢圓上，且（2，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程；
（2）若B為橢圓的下頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線BF與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，P為橢圓右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是否存在這樣的橢圓使得△PBD為等邊三角形？若存在，求出橢圓的離心率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，1）在橢圓上，且（2，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，建立方程，求出a，b，即可求橢圓方程；
（2）求出|BD|，到直線BD的距離，利用△PBD為等邊三角形，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，1）在橢圓上，且（2，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=4}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由題意，B（0，-b），F(xiàn)（c，0），則直線BF的方程為bx-cy-bc=0，
與$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立，可得（a²+c²）x²-2a²cx=0，∴x_D=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，∴y_D=$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$
∴|BD|=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{c}^{2}}}$•$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
BD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，-$\frac{b{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），BD的垂直平分線的方程為y+$\frac{b{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$=-$\frac{c}$（x-$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
令x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，可得y=-$\frac{{a}^{4}+^{2}{c}^{2}}{b（{a}^{2}+{c}^{2}）}$，
∴P到直線BD的距離為$\frac{{a}^{5}}{bc（{a}^{2}+{c}^{2}）}$，
∵△PBD為等邊三角形，
∴$\frac{{a}^{5}}{bc（{a}^{2}+{c}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{c}^{2}}}$•$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
∴a²=$\sqrt{3}$bc，
∴a⁴=3（a²-c²）c²，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．