Question

19．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e，直線l：y=x+1經(jīng)過橢圓C的一個焦點，點（1，1）關(guān)于直線l的對稱點也在橢圓C上，則$\frac{2e}{{m}^{2}+1}$+m²的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-1
• D． 均不正確

Answer 1

分析 求出點（1，1）關(guān)于直線l的對稱點坐標(biāo)，利用點（1，1）關(guān)于直線l的對稱點也在橢圓C上，求出a，再求出c，可得離心率，代入，利用基本不等式，即可求出$\frac{2e}{{m}^{2}+1}$+m²的最小值．

解答 解：由題意，橢圓C的一個焦點坐標(biāo)為（0，1）
設(shè)點（1，1）關(guān)于直線l的對稱點坐標(biāo)為（s，t），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{t-1}{s-1}•1=-1}\\{\frac{1+t}{2}=\frac{1+s}{2}+1}\end{array}\right.$，
∴s=0，t=2，
∵點（1，1）關(guān)于直線l的對稱點也在橢圓C上，
∴a=2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2e}{{m}^{2}+1}$+m²=$\frac{1}{{m}^{2}+1}$+m²+1-1≥2-1=1（m=0時取等號），
∴$\frac{2e}{{m}^{2}+1}$+m²的最小值為1，
故選：A．

點評 本題考查點關(guān)于直線對稱點的求法，考查橢圓的性質(zhì)，考查基本不等式的運用，正確求出橢圓的離心率是關(guān)鍵．