Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)A（-3，2），且離心率e=$\sqrt{5}$．
（1）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果B，C為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線AB與直線AC的斜率互為相反數(shù)，證明直線BC的斜率為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}=1}}\\{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=5}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求出雙曲線的方程；
（2）設(shè)AB的方程為y-2=k（x+3），代入雙曲線方程，求出B，C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}=1}}\\{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=5}\end{array}\right.$，∴a²=8，b²=32，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{32}$=1；
（2）證明：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
設(shè)AB的方程為y-2=k（x+3），代入雙曲線方程，可得（4-k²）x²-2k（3k+2）x-（3k+2）²-32=0，
∴-3+x₁=$\frac{6{k}^{2}+4k}{4-{k}^{2}}$，
∴x₁=$\frac{3{k}^{2}+4k+12}{4-{k}^{2}}$，y₁=$\frac{2{k}^{2}+24k+8}{4-{k}^{2}}$，
∴B（$\frac{3{k}^{2}+4k+12}{4-{k}^{2}}$，$\frac{2{k}^{2}+24k+8}{4-{k}^{2}}$），
同理C（$\frac{3{k}^{2}-4k+12}{4-{k}^{2}}$，$\frac{2{k}^{2}-24k+8}{4-{k}^{2}}$）．
∴k_BC=$\frac{48}{8}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．