10.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{9}^{x}+{3}^{x+1}+a}{{3}^{x}}$.
(1)若f(x)是偶函數(shù),求實數(shù)a的值;
(2)若對任意x∈[0,+∞),都有f(x)>0,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)由f(x)為偶函數(shù),便有f(-1)=f(1),從而可以求出a=1;
(2)根據(jù)條件便可得到32x+3•3x>-a對任意x∈[0,+∞)恒成立,配方便可求出y=32x+3•3x在[0,+∞)上的最小值,從而得出a的取值范圍;
(3)分離常數(shù)得到$f(x)={3}^{x}+3+\frac{a}{{3}^{x}}$,然后求導數(shù),根據(jù)條件知導數(shù)f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,從而得到32x≥a在[0,+∞)上恒成立,這樣便可求出a≤1,即求出a的取值范圍.

解答 解:(1)f(x)是偶函數(shù);
∴f(-1)=f(1);
即$\frac{\frac{1}{9}+1+a}{\frac{1}{3}}=\frac{9+9+a}{3}$;
解得a=1;
(2)由f(x)>0得,$\frac{{9}^{x}+{3}^{x+1}+a}{{3}^{x}}>0$;
∴32x+3•3x>-a對任意的x∈[0,+∞)都成立;
設g(x)=32x+3•3x=$({3}^{x}+\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}$,則g(0)=4為g(x)在[0,+∞)上的最小值;
∴4>-a;
∴a>-4;
∴實數(shù)a的取值范圍為(-4,+∞);
(3)$f(x)={3}^{x}+3+\frac{a}{{3}^{x}}$,$f′(x)={3}^{x}ln3-\frac{a•{3}^{x}ln3}{{3}^{2x}}$=$\frac{ln3({3}^{2x}-a)}{{3}^{x}}$;
∵f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增;
∴f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立;
∴32x≥a在[0,+∞)上恒成立;
y=32x在[0,+∞)上的最小值為30=1;
∴a≤1;
∴實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

點評 考查偶函數(shù)的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,配方求二次式子的最值的方法,分離常數(shù)法的運用,函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關(guān)系.

練習冊系列答案
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C.隨著n的增大,θn先增大后減小D.隨著n的增大,θn先減小后增大

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A.4B.-1C.-4

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20.已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)過點A(-3,2),且離心率e=$\sqrt{5}$.
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(2)如果B,C為雙曲線上的動點,直線AB與直線AC的斜率互為相反數(shù),證明直線BC的斜率為定值,并求出該定值.

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